Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）设P（1，2），是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OP与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的右焦点F（1，0），知，由此能求出抛物线C的方程和其准线方程．．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，由，得y²-2y+2b=0，由直线l与抛物线有公共点，知△=4-8b≥0，由直线OP与l的距离d=，知b=±1．由此能导出符合题意的直线l存在，其方程为y=2x-1．
解答：解：（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），
∴，
∴抛物线C的方程为y²=4x，
其准线方程为x=-1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，
由，得y²-2y+2b=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4-8b≥0，即b，
∵直线OP与l的距离d=，
∴，即b=±1．
从而b=-1．
∴符合题意的直线l存在，其方程为y=2x-1．
点评：本题考查直线和抛物线的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．