Question

8．我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：是．是（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：2．
（Ⅱ）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，$\frac{3}{2}$是其“和谐数”；
证明过程如下：对任意x₁∈[10，100]，令$\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}=\frac{3}{2}$，即$\frac{{lg{x_1}+lg{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，
得x₂=$\frac{1000}{x_1}$．∵x₁∈[10，100]，∴x₂=$\frac{1000}{x_1}$∈[10，100]．
即对任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x₂=$\frac{1000}{x_1}$∈[10，100]，使得$\frac{{g（x）+g（{x_2}）}}{2}=\frac{3}{2}$．
∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为$\frac{3}{2}$．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；
[证明]：
（Ⅲ）判断函数u（x）=x²，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x₁∈[-1，3]，令c=2代入条件求出x₂、判断出x₂的范围，可得答案；
（Ⅱ）参照上述证明过程，对任意x₁∈（1，3），令$\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}=5$化简得${2^{x_2}}=10-{2^{x_1}}$，由指数、对数的运算求出x₂，根据对数函数的性质判断出x₂的范围，即可证明结论成立；
（Ⅲ）分c＜0和c≥0两种情况讨论，对任意的x₁∈R，不存在唯一的x₂∈R，使$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=C$成立，所以函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”．

解答 解：（Ⅰ）∵对任意x₁∈[-1，3]，令$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=2$，得x₂=2-x₁，
而x₂∈[-1，3]，即对任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=2$；------------------（4分）
（Ⅱ）对任意x₁∈（1，3），令$\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}=5$，即$\frac{{{2^{x_1}}+{2^{x_2}}}}{2}=5$，得${2^{x_2}}=10-{2^{x_1}}$，----（6分）
${x_2}=lo{g_2}（{10-{2^{x_1}}}）$．∵x₁∈（1，3），∴$10-{2^{x_1}}∈（{2，8}）$，${x_2}=lo{g_2}（{10-{2^{x_1}}}）∈（{1，3}）$．
即对任意x₁∈（1，3），存在唯一的${x_2}=lo{g_2}（{10-{2^{x_1}}}）∈（{1，3}）$，使得$\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}=5$．---（8分）
∴h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”．----------------------（10分）
（Ⅲ）对任意的常数C，
（1）若C≤0，则对于x₁=1，显然不存在x₂∈R，使得$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=\frac{{1+{x_2}^2}}{2}=C$成立，
所以C（C≤0）不是函数u（x）=x²，x∈R的和谐数；-------------------------（13分）
（2）若C＞0，则对于${x_1}=\sqrt{4C}$，由$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=\frac{{4C+{x_2}^2}}{2}=C$得，${x_2}^2=-2C＜0$，
即不存在x₂∈R，使$\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{2}=C$成立．
所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x²，x∈R的和谐数．-------------------------（15分）
综上所述，函数u（x）=x²，x∈R不是“和谐函数”．-----------------------------（16分）
故答案为：（Ⅰ）是，C=2．

点评 本题是新定义型函数应用题，综合考查了阅读理解能力，及函数定义域值域的求法等，难度较大，需要扎实的函数基本功，和逻辑基本功，属于难题．