Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（Ⅰ）证明：BM⊥平面SMC；
（Ⅱ）若SB与平面ABCD所成角为$\frac{π}{4}$，N为棱SC上的动点，当二面角S-BM-N为$\frac{π}{4}$时，求$\frac{SN}{NC}$的值．

Answer 1

分析 （I）利用平面几何知识证明BM⊥MC，结合SM⊥平面ABCD可得SM⊥BM，于是BM⊥平面SMC；
（II）设AB=1，利用∠SBM=$\frac{π}{4}$，∠SMN=$\frac{π}{4}$可求出SM，SC，在△SMN中使用正弦定理求出SN，即可得出$\frac{SN}{NC}$的值．

解答 解：（I）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，SM⊥AD
∴SM⊥平面ABCD，又BM?平面ABCD
∴SM⊥BM
又AM=AB，DM=DC
∴∠BMA=∠DMC=$\frac{π}{4}$，
∴∠BMC=$\frac{π}{2}$，即CM⊥BM，
又SM?平面SMC，MC?平面SMC，SM∩MC=M，
∴BM⊥平面SMC．
（II）∵SM⊥平面ABCD，∴∠SBM为SB与平面ABCD所成的角，
∴∠SBM=$\frac{π}{4}$．∴SM=BM．
由（1）得BM⊥平面SMC，∵MN?平面SMC，
∴BM⊥MN，又BM⊥SM，
∴∠SMN为二面角S-BM-N的平面角．即∠SMN=$\frac{π}{4}$．
设AB=1，则SM=BM=$\sqrt{2}$，DM=DC=3，∴MC=3$\sqrt{2}$．
∴SC=$\sqrt{S{M}^{2}+M{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．sin∠MSN=$\frac{MC}{SC}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．cos∠MSN=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sin∠SNM=sin（∠MSN+∠SMN）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在△SMN中，由正弦定理得$\frac{SN}{sin∠SMN}$=$\frac{SM}{sin∠SNM}$，
∴SN=$\frac{SM•sin∠SMN}{sin∠SNM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴$\frac{SN}{SC}=\frac{1}{4}$，∴$\frac{SN}{NC}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．