Question

已知圆C的圆心为（1，1），半径为1．直线l的参数方程为

x=2+tcosθ y=2+tsinθ

（t为参数），且θ∈[0，

π

3

]，点P的直角坐标为（2，2），直线l与圆C交于A，B两点，求

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

的最小值．

Answer 1

分析：先根据题意得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．

解答：解：圆C的普通方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
将直线l的参数方程代入并化简得t²+2（sinθ+cosθ）t+1=0，
由直线参数方程的几何意义得
|PA|+|PB|=2|sinθ+cosθ|，|PA|•|PB|=1
所以

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

=

1

2 2 |sin(θ+ π 4 )|

，θ∈[0，

π

3

]，
当θ=

π

4

时，

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

取得最小值

1

2 2 ×1

=

2

4

，
所以

|PA|•|PB|

|PA|+|PB|

的最小值是

2

4

．

点评：此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．