Question

已知函数
（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂处取极值，且满足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，则函数的导数在[1，3]上大于0恒成立，得到关于x的二次函数，只要二次函数图象当x∈[1，3]时恒在x轴上方即可，再利用二次函数根的分布来判断即可．
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂处取极值，则x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的两根，利用韦达定理可得，把|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|中的f（x₁）和f（x₂）用x₁，x₂表示，化简，即可求出a的范围．
解答：解：（1）∵，
∴由f（x）在[1，3]上单调递增得：．
令g（x）=ax²+2x-5a，则得；
或；
又当a=0时，g（x）=2x＞0在[1，3]上恒成立，∴
再由．
综上，
（2）∵f（x）在x=x₁，x=x₂处取极值，∴x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的两根，
∴，
∴由，
∴．
点评：本题主要考查了应用导数求函数的单调区间，极值，属于导数的应用．