Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面， ， ， ， 分别为线段上的点，且， ， .

（1）求证： 平面；

（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)30°.

【解析】试题分析：

（1）由条件可得为直角三角形，且．故由余弦定理可得，所以，从而，又由条件可得，故平面．（2）由两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面的法向量和平面的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小．

试题解析：

（1）证明：连，由题意知．

∴

在中，由余弦定理得

,

∴,

∴,

又因为，

∴

又 ，

又， ，

∴平面．

（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

由与平面所成的角为，知，

则

∴

因为

由（1）知 平面，

∴平面

∴为平面的一个法向量.

设平面的法向量为，

则 ∴，

令，则，

∴为平面的一个法向量.

∴

故平面与平面的锐二面角的余弦值为,

所以平面与平面的锐二面角为．