题目内容
【题目】如图，已知在四棱锥
中，
为
中点，平面
平面
，
，
，
，
．
（1）求证：平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）由勾股定理可得
，可得
平面
，于是
，由正三角形的性质可得
，可得
底面
，从而可得结果；（2）以
为
，过
作
的垂线为
建立坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角
的余弦值.
详解：（1）证明：∵
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
∴，∴平面，
∴，
∵
，为中点，
∴，∴底面，
∴平面
平面．
（2）如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
∴
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，平面的法向量为
，则
由
可得
取
，得
，
，即
，
由
可得
取
，得
，
，即
，
∴
．
故二面角
的余弦值为．
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