Question

已知椭圆的左右焦点分别是，直线l：与椭圆C交于两点M，N且当时，M是椭圆C的上顶点，且△MF₁F₂的周长为6．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x＝4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当时，直线的倾斜角为，所以：　　3分 　　解得：　　5分 　　所以椭圆方程是：　　6分 　　(1)当时，直线的方程为：，此时，点的坐标分别是，又 　　点坐标是，由图可以得到两点坐标分别是，以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6，猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6　　8分 　　证明如下： 　　设点点的坐标分别是，则直线的方程是：， 　　所以点的坐标是，同理，点的坐标是　　9分 　　由方程组得到：， 　　所以：　　11分 　　从而： 　　＝0， 　　所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6　　13分