题目内容

已知a∈R，函数（其中e为自然对数的底）．（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在求出x0的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵
∴f'（x）==，令f'（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e）时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．
（2）不存在．证明如下，x∈（0，e]，
∴g'（x）=ex+（lnx﹣1）ex+1=（+lnx﹣1）ex+1
由（1）知，当a=1时，，
此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即，而ex＞0，
所以g'（x）≥1＞0，又曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直，等价于g'（x0）=0有实数根，而g'（x）＞0，
所以方程g'（x0）=0无实数根，x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过点M(
π
2
，1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）已知a∈(
π
2
，π)，且f(a+
2π
3
)=-
2
3
，求tan（2π-a）的值．
给出下列四个命题：
①已知
a
=(3，  4)， 
b
=(0，  1)，则
a
在
b
方向上的投影为4；
②若函数y=（a+b）cos2x+（a-b）sin2x（x∈R）的值恒等于2，则点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（0，-2）；
③函数f(x)=
1
lgx
在（0，+∞）上是减函数；
④已知函数f（x）=ax2+（b+c）x+1（a≠0）是偶函数，其定义域为[a-c，b]，则点（a，b）的轨迹是直线；
⑤P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，AD=3，则
PA
•(
PB
+
PC
)的取值范围是[-
9
2
，  0)．
其中所有正确命题的序号是
①③④⑤
①③④⑤
．
已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=
2x-k
x2+1
的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+
3
5
 (-
1
2
≤x≤
1
2
， 0＜m＜
1
2
)，若对任意的x1∈[-
1
2
，
1
2
]，总存在x2∈[-
1
2
，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．
已知a＞0，f（x）=a•ex是定义在R上的函数，函数f-1(x)=ln
x
a
(x∈(0，+∞))，并且曲线y=f（x）在其与坐标轴交点处的切线和曲线y=f-1（x）在其与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求a的值；
（2）设函数g(x)=
x-m
f-1(x)
，当x＞0且x≠1时，不等式g(x)＞
x
恒成立，求实数m的取值集合．
已知a＞
1
2
且a≠1．条件p：函数f（x）=log（2a-1）x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)=
x+|x-a|-2
的定义域为R．如果p∨q为真，试求a的取值范围．

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