Question

已知函数在处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；
(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：见解析；(Ⅲ) ．

(I)根据求出x0和b的值.
(II)利用导数研究出f(x)的最小值，证明f(x)的最小值不小于零即可.
（III）先求出,然后分、和三种情况求其最小值m，根据m>2e,求出a的取值范围.
（Ⅰ）解：.
由题意有即，解得或（舍去）．
得即，解得．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
．在区间上，有；在区间上，有．      故在单调递减，在单调递增，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有恒成立．
(Ⅲ)解：．
当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围．