Question

（21）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），

证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

Answer 1

(21)本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

    证明：必要性.设{a_n}是公差为d₁的等差数列，则

    b_n+1-b_n=(a_n+1-a_n+3)-(a_n-a_n+2)=(a_n+1-a_n)-(a_n+3-a_n+2)=d₁-d₁=0，

    所以b_n≤b_n+1(n=1，2，3，…)成立，

    又c_n+1-c_n=(a_n+1-a_n)+2(a_n+2-a_n+1)+3(a_n+3-a_n+2)

            =d₁+2d₁+3d₁=6d₁(常数)(n=1，2，3，…)，

    所以数列{c_n}为等差数列．

    充分性．设数列{c_n}是公差为d₂的等差数列，且b_n≤b_n+1(n=1，2，3，…).

    证法一：

    ∵c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2，                         ①

    ∴c_n+2=a_n+2+2a_n+3+3a_n+4.                        ②

    ①-②得c_n-c_n+2=(a_n-a_n+2)+2(a_n+1-a_n+3)+3(a_n+2-a_n+4)

                =b_n+2b_n+1+3b_n+2.

    ∵c_n-c_n+2=(c_n-c_n+1)+(c_n+1-c_n+2)=-2d₂，

    ∴b_n+2b_n+1+3b_n+2=-2d₂，                        ③

    从而有

    b_n+1+2b_n+2+3b_n+3=-2d₂．                        ④

    ④-③得

    (b_n+1-b_n)+2(b_n+2-b_n+1)+3(b_n+3-b_n+2)=0．            ⑤

    ∵b_n+1-b_n≥0，b_n+2-b_n+1≥0，b_n+3-b_n+2≥0，

    ∴由⑤得b_n+1-b_n=0(n=1，2，3，…)．

    由此不妨设b_n=d₃(n=1，2，3，…)，则a_n-a_n+2=d₃(常数)．

    由此c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2=4a_n+2a_n+1-3d₃，

    从而c_n+1=4a_n+1+2a_n+2-3d₃=4a_n+1+2a_n-5d₃．

    两式相减得c_n+1-c_n=2(a_n+1-a_n)-2d₃，

    因此a_n+1-a_n=(c_n+1-c_n)+d₃=d₂+d₃(常数)(n=1，2，3，…)，

    所以数列{a_n}是等差数列，

    证法二：

    令A_n=a_n+1-a_n，由b_n≤b_n+1知a_n-a_n+2≤a_n+1-a_n+3，

    从而a_n+1-a_n≥a_n+3-a_n+2，即A_n≥A_n+2(n=1，2，3，…)．

    由c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2,c_n+1=a_n+1+2a_n+2+3a_n+3得

    c_n+1-c_n=(a_n+1-a_n)+2(a_n+2-a_n+1)+3(a_n+3-a_n+2)，即

    A_n+2A_n+1+3A_n+2=d₂．                           ⑥

    由此得

    A_n+2+2A_n+3+3A_n+4=d₂.                           ⑦

    ⑥-⑦得

    (A_n-A_n+2)+2(A_n+1-A_n+3)+3(A_n+2-A_n+4)=0．           ⑧

    因为A_n-A_n+2≥0，A_n+1-A_n+3≥0，A_n+2-A_n+4≥0，

    所以由⑧得A_n-A_n+2=0(n=1，2，3，…).

    于是由⑥得

4A_n+2A_n+1=A_n+2A_n+1+3A_n+2=d₂,                  ⑨

从而

2A_n+4A_n+1=4A_n+1+2A_n+2=d₂.                 ⑩

由⑨和⑩得4A_n+2A_n+1=2A_n+4A_n+1，故A_n+1=A_n，即

a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n=1，2，3，…）,

所以数列{a_n}是等差数列.