Question

（2012•扬州模拟）已知函数f(x)=

3

2

x+ln(x-1)，设数列{a_n}同时满足下列两个条件：①an＞0(n∈N*)；②a_n+1=f'（a_n+1）．
（Ⅰ）试用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）记bn=a2n(n∈N*)，若数列{b_n}是递减数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用a_n+1=f'（a_n+1），可用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）先通过特殊性，猜想0＜a₁＜2，再用数学归纳法进行证明．

解答：解：（Ⅰ）求导函数f′(x)=

3

2

+

1

x-1

，
∵a_n+1=f'（a_n+1），∴an+1=

3

2

+

1

an

．
（Ⅱ）a3=

3

2

+

1

a2

，a4=

3

2

+

1

a3

=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2

=

3

2

+

2a2

3a2+2

，
令a₄＜a₂，得2

a

2 2

-3a2-2＞0，∴（2a₂+1）（a₂-2）＞0，
∵a₂＞0，∴a₂＞2，则

3

2

+

1

a1

＞2，得0＜a₁＜2．
以下证明：当0＜a₁＜2时，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2．
①当n=1时，0＜a₁＜2，则a2=

3

2

+

1

a1

＞

3

2

+

1

2

=2，a4-a2=

3

2

+

1

a3

-a2=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2

-a2=

13a2+6

2(3a2+2)

-a2=

-6 a 2 2 +9a2+6

2(3a2+2)

=-

3(2a2+1)(a2-2)

2(3a2+2)

＜0，∴a₄＜a₂．
②假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，
当n=k+1时，a2k+2=

3

2

+

1

a2k

＞

3

2

+

1

2

=2，a2k+2=

3

2

+

1

a2k+1

=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2k

＞2a2k+4-a2k+2=

13a2k+2+6

2(3a2k+2+2)

-a2k+2=-

3(a2k+2+1)(a2k+2-2)

2(3a2k+2+2)

＜0
∴a_2k+4＜a_2k+2，即n=k+1时命题成立，
综合①②，对于任意n∈N^*，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2，从而数列{b_n}是递减数列．
∴a₁的取值范围为（0，2）．
说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：a2k+4-a2k+2=

13a2k+2+6

2(3a2k+2+2)

-

13a2k+6

2(3a2k+2)

=

4(a2k+2-a2k)

(3a2k+2+2)(3a2k+2)

＜0

点评：本题考查数列递推式，考查求参数的范围，解题的关键是先猜后证，属于中档题．