Question

数列{

n	n

}，n=1，2，…，则数列中最大项的值为

3	3

．

Answer 1

分析：先设y=

x	x

，（x＞0），则lny=

1

x

lnx，再设F（x）=lny=

1

x

lnx，求导数F′（x）=-

1

x2

lnx+

1

x2

=

1-lnx

x2

，利用导数研究它的单调性，得出F（x）在区间[3，+∞）是减函数，在（0，2]是增函数，又由于

3	3

＞

2

，从而得出数列中最大项的值．

解答：解：设y=

x	x

，（x＞0），
则lny=

1

x

lnx，
设F（x）=lny=

1

x

lnx，
则F′（x）=-

1

x2

lnx+

1

x2

=

1-lnx

x2

，
当x≥3时，F′（x）＜0，当0＜x≤2时，F′（x）＞0，
故F（x）在区间[3，+∞）是减函数，在（0，2]是增函数，
又由于

3	3

＞

2

，
∴当x=3时，F（x）_max=F（3），从而y=

x	x

的最大值为

3	3

．
故答案为：

3	3

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列的函数特性、导数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．