Question

若存在x使不等式

x-m

ex

＞

x

成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A、(-∞，  -

  1

  e

   )
• B、(-

  1

  e

   ，  e)
• C、（-∞，0）
• D、（0，+∞）

Answer 1

分析：不等式

x-m

ex

＞

x

，等价于m＜x-

x

•ex，故存在x使不等式

x-m

ex

＞

x

成立，等价于m＜（x-

x

•ex）_min，去、构造函数，确定单调性，即可得出结论．

解答：解：不等式

x-m

ex

＞

x

，等价于m＜x-

x

•ex，
故存在x使不等式

x-m

ex

＞

x

成立，等价于m＜（x-

x

•ex）_min，
令y=x-

x

•ex，则y′=1-(

1

2 x

+

x

)•ex≤1-1=0，
∴y=x-

x

•ex在[0，+∞）上是单调减函数，
∴（x-

x

•ex）_min=0，
∴m＜0．
故选C．

点评：本题考查存在性问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别．