Question

已知函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna其中a为常数，e=2.718K，函数y=f（x）和y=g（x）的图象在它们与坐标轴交点处的切线分别为l₁，l₂，且l₁∥l₂
（Ⅰ）求常数a的值及l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）求证：对于函数f（x）和g（x）公共定义域内的任意实数x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数与坐标轴的交点，再利用导数的几何意义，求出两条切线的斜率，根据l₁∥l₂，列出方程，求解即可得到常数a的值及l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）构造函数n（x）=e^x-x-1，利用导数判断出函数n（x）的单调性，从而得到e^x-1＞x，再构造函数m（x）=lnx-x+1，利用导数求出m（x）的取值范围，即可得到lnx+1＜x，从而得到e^x-lnx＞2，即可证明出对于函数f（x）和g（x）公共定义域内的任意实数x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）将不等式

x-m

f(x)

＞

x

转化成m＜x-

x

ex，从而转化成求h(x)=x-

x

ex的取值范围，利用导数求出h(x)=x-

x

ex的取值范围，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ae^x与坐标轴的交点为（0，a），
∴f（x）在交点（0，a）处切线的斜率为f'（0）=a，
g（x）=lnx-lna与坐标轴交点为（a，0），
∴g（x）在交点（a，0）处切线的斜率为g′(a)=

1

a

，
∵l₁∥l₂，
∴a=

1

a

，解得a=±1，又a＞0，
∴a=1，
∴l₁方程为：y=x+1，l₂方程：y=x-1；
（Ⅱ）函数f（x）和g（x）公共定义域为（0，+∞），
∵|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|=e^x-lnx，
∴令n（x）=e^x-x-1，则n'（x）=e^x-1＞0，
∴n（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴n（x）＞n（0）=0，
∴e^x-1＞x，①
令m（x）=lnx-x+1，则m′(x)=

1

x

-1，
当x＞1时，m'（x）＜0，当0＜x＜1时，m'（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，
∴lnx+1＜x，②
由①②，得e^x-1＞x＞lnx+1，即e^x-1＞lnx+1，
∴e^x-lnx＞2，
∴|f（x）-g（x）|＞2，
故对于函数f（x）和g（x）公共定义域内的任意实数x，有|f（x）-g（x）|＞2；
（Ⅲ）不等式

x-m

f(x)

＞

x

可转化为m＜x-

x

ex，
令h(x)=x-

x

ex，则h′(x)=1-(

1

2 x

+

x

)ex，
∵x＞0，
∴

1

2 x

+

x

≥

2

，又e^x＞1，
∴h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴实数m的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了恒成立问题，对于恒成立问题一般选用参变量分离法转化成求函数的最值进行求解，最值的求解是应用了导数求最值．对于不等式的证明关键在于如何构造函数，转化为求函数的值域问题．属于中档题．