Question

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（1）求此平行线的距离；
（2）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，确定a的值，从而可得切线方程，即可求得两平行切线间的距离；
（2）问题等价于m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，令h（x）=x-

x

ex，则m＜h_max（x），由此即可求得实数m的取值范围；

解答：解：（1）求导数可得f'（x）=ae^x，g′（x）=

1

x

，
又可知y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，
∴f'（0）=g'（a），即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0
∴由两平行切线间的距离距离公式可得距离为

|1-(-1)|

12+(-1)2

=

2

．
（2）由

x-m

f(x)

＞

x

得

x-m

ex

＞

x

，故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，
令h（x）=x-

x

ex，则m＜h_max（x）．当x=0时，m＜0；
当x＞0时，∵h′（x）=1-（

1

2 x

ex+

x

ex）=1-（

1

2 x

+

x

）ex，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥2

1 2 x • x

=

2

，当且仅当

1

2 x

=

x

，即x=

1

2

时取等号，
又ex＞1，∴（

1

2 x

+

x

）ex＞

2

，故h′（x）=1-（

1

2 x

+

x

）ex＜0，
故h（x）=x-

x

ex在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）_max=h（0）=0，∴m＜0
综合可得实数m的取值范围为（-∞，0）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，正确求导并等价转化是解题的关键．