Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

已知不等式的对任意实数恒成立．

（Ⅰ）求实数的最小值；

（Ⅱ）若，且满足，求证：．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）不等式等价于．……………1分

令，则不等式的对任意实数恒成立等价于．………………2分

而作出函数的图象，由图可知，函数的最小值为，所以，即，故．……………5分

（II）由（I）知，其中，所以，，，

所以原不等式等价于 ．……………6分

下面证明不等式：

因为，（当且仅当时取等号）

， （当且仅当时取等号）

．（当且仅当时取等号）……………8分

三式相加得：，（当且仅当时取等号）

……………9分

所以，即．………10分

【命题意图】本题考查含有绝对值不等式的不等式恒成立问题、不等式的证明、函数图象的应用，意在考查推理论证能力、运算求解能力．