Question

设双曲线的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若双曲线上存在点P，使AP⊥PQ，则双曲线的离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：点P（m，n），根据⊥利用数量积为零算出（m-a）（2a-m）-n²=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b²（）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．
解答：解：设点P（m，n），可得=（m-a，n），=（2a-m，-n）
∵AP⊥PQ，
∴•=（m-a）（2a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在双曲线上
∴，得n²=b²（）…（2）
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b²（）=0
化简整理，得-m²+3am+c²-3a²=0
此方程的一根为m₁=a，另一根为m₂=．
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴＞a，得3a²＞2c²，即e²＜
由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜
故答案为：1＜e＜
点评：本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（2a，0）所张的角等于90度，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．