Question

已知a＞0且a≠1，f(x)=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)．
（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性并用定义加以证明；
（3）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义和幂运算的性质即可证明函数f（x）为定义域上的奇函数；（2）先利用指数函数的单调性判断函数为R上的单调增函数，再利用函数单调性的定义，通过设?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，即可证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为f（1-m）＜f（m²-1），再利用函数的单调性和定义域，将不等式转化为整式不等式组即可得不等式的解集

解答：解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
f(-x)=

a

a2-1

(a-x-

1

a-x

)=f(x)=

a

a2-1

(

1

ax

-ax)=-f（x）
∴函数f（x）为定义域上的奇函数
（2）此函数为R上的单调增函数
证明：设?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[(-

1

ax1

+ax1)-(-

1

ax2

+ax2)]=

a

a2-1

[

1

ax2

-

1

ax1

+ax1-ax2]
=

a

a2-1

[(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)]
∵a＞1时，

a

a2-1

＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0
0＜a＜1时，

a

a2-1

＜0，ax1-ax2＞0，1+

1

ax1+x2

＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）为R上的单调增函数
（3）f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）（奇函数的性质）
∵函数f（x）为（-1，1）上的单调增函数
∴f（1-m）＜f（m²-1）?

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

?

0＜m＜2 0＜m2＜2   m＞1或m＜-2

解得1＜m＜

2

点评：本题考查了奇函数的定义及其判断方法，利用函数单调性的定义证明函数的单调性的方法，利用函数的单调性和奇偶性解不等式的方法