Question

【题目】如图，四棱锥的底面为直角梯形，

，平面底面，为的中点，为正三角形，是棱上的一点(异于端点).

（Ⅰ）若为中点，求证：平面；

（Ⅱ）是否存在点，使二面角的大小为30°.若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）为棱上靠近端点的四等分点，证明见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由已知条件可得四边形为平行四边形，进而，即得平面；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法求出，进而得到存在点满足，且为棱上靠近端点的四等分点.

试题解析：(Ⅰ)证明：如图，连接交与点，连接

由题意知且，故四边形为平行四边形

∴为中点

∴在中，又由为中点有：

又面，面

∴平面.

（Ⅱ）连接，则由题意易知平面

故以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则

设，则

∴

记平面的法向量，平面的法向量，

则由有

令可得

又由有，即

故存在点满足，且为棱上靠近端点的四等分点.

（其它方法酌情给分）.