Question

（1）动直线y=a与抛物线y²=（x－2）相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），求线段AB中点M的轨迹C的方程；

（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值.

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：设M点的坐标为（x，y），由点A的坐标为（2a2+2，a），B点的坐标为（0，3a），得. ∴轨迹C的方程为x=+1， 即y2=4（x－1）； （2）解法一：设直线l的方程为y=k（x－2），因l与抛物线有两个交点，故k≠0，得x=+2，代入y2=4（x－1），得y2－y－4=0， 故Δ=+16＞0恒成立. 记这个方程的两实根为y1、y2，则 |PQ|=|y1－y2|=. 又点E到直线l的距离 d=. ∴△EPQ的面积为S△EPQ=|PQ|·d=. 由=4，解得k2=，∴k=±. ∴α=或α=. 解法二：设直线l的方程为y=k（x－2），代入y2=4（x－1），得 k2x2－（4k2+4）x+4k2+4=0. 因直线l与抛物线有两个交点，故k≠0， 而Δ=16（k2+1）＞0恒成立. 记这个方程的两个实根为x1、x2，因抛物线y2=4（x－1）的焦点是D（2，0），准线是x=0. 所以|PQ|=x1+x2=. 其余同解法一. 解法三：设直线l的方程为y=k（x－2），因为直线与抛物线交于两点，所以k≠0，则x=+2，代入y2=4（x－1）得y2－y－4=0. S△EPQ=S△EPD+S△EQD=|ED|·（|y1|+|y2|）=|ED|·|y1－y2| =·1· =. ∵S△EPQ=4， ∴=4. 得k=±，α=或.