Question

如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交x轴于P点，且椭圆的长半轴长a和短半轴长b是关于x的方程（其中c为半焦距）的两个根．
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）经过F、B、P三点的圆与直线相切，试求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由根与系数的关系得，，故a²+2ab+b²=3c²，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由，令a=2m（m＞0），则有，从而，直线BP的方程为，P点坐标为．再由△FBP是直角三角形，知圆心为，半径为．由此能求出椭圆的方程．
解答：解：（I）依题意，由根与系数的关系得，，∴a²+2ab+b²=3c²，（3分）
又∵b²=a²-c²，（4分）
∴3a²-4c²=0，解得；（6分）
（Ⅱ）由（I）知，令a=2m（m＞0），则有，
从而，（7分）
∴直线BP的方程为，（8分）
P点坐标为．（9分）
∵△FBP是直角三角形，
∴圆心为，半径为，（10分）
圆心到直线的距离为，（11分）
解得m=1，（12分）
故b=1，a=2（13分）
所以椭圆的方程为（14分）
点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行待价转化．