Question

如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交x轴于P点，且椭圆的长半轴长a和短半轴长b是关于x的方程3x2-3

3

cx+2c2=0（其中c为半焦距）的两个根．
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）经过F、B、P三点的圆与直线x+

3

y-

3

=0相切，试求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（I）由根与系数的关系得，

a+b= 3 c ab= 2 3 c2

，故a²+2ab+b²=3c²，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由e=

c

a

=

3

2

，令a=2m（m＞0），则有c=

3

m，b=m，从而F(-

3

m，0)，B(0，m)，直线BP的方程为y=-

3

x+m，P点坐标为(

3

3

m，0)．再由△FBP是直角三角形，知圆心为(-

3

3

m，0)，半径为r=

2 3

3

m．由此能求出椭圆的方程．

解答：解：（I）依题意，由根与系数的关系得，

a+b= 3 c ab= 2 3 c2

，∴a²+2ab+b²=3c²，（3分）
又∵b²=a²-c²，（4分）
∴3a²-4c²=0，解得e=

c

a

=

3

2

；（6分）
（Ⅱ）由（I）知e=

c

a

=

3

2

，令a=2m（m＞0），则有c=

3

m，b=m，
从而F(-

3

m，0)，B(0，m)，（7分）
∴直线BP的方程为y=-

3

x+m，（8分）
P点坐标为(

3

3

m，0)．（9分）
∵△FBP是直角三角形，
∴圆心为(-

3

3

m，0)，半径为r=

2 3

3

m，（10分）
圆心到直线x+

3

y-

3

=0的距离为d=

|- 3 3 m- 3 |

2

=

2

3

3

m，（11分）
解得m=1，（12分）
故b=1，a=2（13分）
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1（14分）

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行待价转化．