Question

如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

（Ⅲ）求的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）最大值，最小值

解析:

（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．

设椭圆的方程：．

解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴，， ∴ ．        …………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故椭圆的方程为 ．                            …………4分

（Ⅱ），

圆过点O、，

圆心M在直线上．

设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

∴

由得解得

所求圆的方程为…………………………8分

（Ⅲ） 由

①若垂直于轴，则，

         ，

         …………………………………………9分

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

   

由    得 

，方程有两个不等的实数根．

设，.

,   ………………………………11分

        

        

         = 

 

，所以当直线垂于轴时，取得最大值

当直线与轴重合时，取得最小值