Question

【题目】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在点，使得

【解析】

（1）先求出抛物线的焦点，从而得到椭圆的，再结合离心率以及即可求出的值，从而求出椭圆方程.

（2）先假设存在，然后设出直线的方程，结合韦达定理以及向量数量积的坐标运算，利用与来表示，要使得其为定值，则与无关，即可求出的值，并求出的值，再验证当直线斜率为0也符合即可.

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，∴，∴，

又因为椭圆的离心率为，即，∴，，则，

因此，椭圆的方程为；

（Ⅱ）假设存在点，使得为定值．

当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，

联立，得，

设、，由韦达定理可得，，

、，

∴

，

要使上式为定值，即与无关，应有，解得，此时，.

当直线的斜率为零时，不妨设、，当点的坐标为时，．

综上所述，存在点，使得．