Question

3．如图，圆内接四边形ABCD满足AB∥CD，P在BA的延长线上，且PD²=PA•PB．若BD=2$\sqrt{2}$，PD=CD=2．
（Ⅰ）证明：∠PDA=∠CDB；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦切线角定理得∠PDA=∠DBA，又AB∥CD，所以∠CDB=∠DBA，即可证明：∠PDA=∠CDB；
（Ⅱ）证明△PAD∽△BCD，求出AD，即可求BC的长．

解答 （Ⅰ）证明：由PD²=PA•PB知PD是圆的切线．
所以由弦切线角定理得∠PDA=∠DBA，
又AB∥CD，
所以∠CDB=∠DBA，
所以∠PDA=∠CDB（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠PDA=∠CDB，
又∠BCD=∠PAD，
所以△PAD∽△BCD，
所以$\frac{AD}{CD}=\frac{PD}{BD}$，
又$BD=2\sqrt{2}$，PD=CD=2，
所以$AD=\sqrt{2}$，
因为AB∥CD，
所以AD=BC=$\sqrt{2}$．（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．