Question

已知向量=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，设函数f（x）=•．
（I）求的值及函数f（x）的最大值；
（II）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中向量=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，函数f（x）=•．我们根据平面向量数量积的运算法则，我们易求出函数f（x）的解析式，再结合正弦型函数的性质，我们即可求出求的值及函数f（x）的最大值；
（2）由（1）所得的f（x）的解析式，我们结合三角函数求值域的方法，构造关于相位ωx+φ的不等式组，求出满足条件的自变量的取值范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
解答：解：（I）∵=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），
∴f（x）=•
=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）
=2sinxcosx+cos²x-sin²x
=sin2x+cos2x
=
∴=
∴函数f（x）的最大值为．
当且仅当（k∈Z）时
函数f（x）取得最大值为．
（II）由（k∈Z），
得（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=进行求解．