题目内容

已知向量
a
=(cosx+sinx，
3
cosx)，  
b
=(cosx-sinx，2sinx)，记f(x)=
a
•
b
，  x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，且a=1，b+c=2，求△ABC的面积．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数 f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
π
6
)，从而得到f（x）的最小正周期．
（2）根据f（A）=1，再由sin(2x+
π
6
)=
1
2
，A为△ABC的内角，求出角A的值，由余弦定理求出bc的值，利用S△ABC=
1
2
bcsinA求出△ABC的面积．
解答：解：（1）由题意可得，函数 f(x)=
a
•
b
=cos2x-sin2x+
3
cosx•2sinx=cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)，…（5分）
故f（x）的最小正周期为T=
2π
2
=π．…（6分）
（2）∵f（A）=1，
∴sin(2x+
π
6
)=
1
2
，又A为△ABC的内角，
∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，
∴2A+
π
6
=
5π
6
，
∴A=
π
3
…（9分）
由余弦定理得b2+c2-a2=bc，
∴（b+c）2-a2=3bc，又a=1，b+c=2
∴bc=1．  …（11分）
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
．…（13分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，以及余弦定理的应用，求出函数 f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
π
6
)，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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