Question

若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm²，则这三个正方体的体积之和为（　　）

A．764 cm³或586 cm³

B．764 cm³

C．586 cm³或564 cm³

D．586 cm³

Answer 1

分析：由题意知，若设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，（a＜b＜c）可得a，b，c满足关系式a²+b²+c²=94．进而可得a，b，c的范围，又由3c²≥a²+b²+c²=94，则6≤c＜10，即c只能取9，8，7，6．逐个验证即得a，b，c的值，进而得到这三个正方体的体积之和．

解答：解：设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，
由题意知，6（a²+b²+c²）=564，即a²+b²+c²=94，
不妨设1≤a≤b≤c＜10，从而3c²≥a²+b²+c²=94，即c²＞31．
故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．
①若c=9，则a²+b²=94-9²=13，
易知a=2，b=3，得一组解（a，b，c）=（2，3，9）；
②若c=8，则a²+b²=94-64=30，显然b≤5．但2b²≥30，b≥4，从而b=4或5．
若b=5，则a²=5无解，若b=4，则a²=14无解．此时无解；
③若c=7，则a²+b²=94-49=45，有唯一解a=3，b=6；
⑤若c=6，则a²+b²=94-36=58，
此时2b²≥a²+b²=58，b²≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，
此时a²=58-36=22无解．
综上，共有两组解

a=2 b=3 c=9

或

a=3 b=6 c=7.

体积为V1=23+33+93=764cm³或V2=33+63+73=586cm³．
故答案为：A．

点评：本小题主要考查正方体的表面积、体积，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．