Question

求下列函数的值域：
（1）y=;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos+2cosx.

Answer 1

（1）（2） (3) ［-2，2］

（1）y==
=2cos²x+2cosx=2-.
于是当且仅当cosx=1时取得y_max=4,但cosx≠1,
∴y＜4，且y_min=-,当且仅当cosx=-时取得.
故函数值域为.
（2）令t=sinx+cosx,则有t²=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.
有y=f(t)=t+=.
又t=sinx+cosx=sin，∴-≤t≤.
故y="f(t)=" (-≤t≤),
从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤+.即函数的值域为.
（3）y=2cos+2cosx
=2coscosx-2sinsinx+2cosx
=3cosx-sinx=2
=2cos.
∵≤1
∴该函数值域为［-2，2］.