Question

【题目】如图，点F1 ， F2分别是椭圆C：的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，点B是直线AF2与椭圆C的另一交点，且满足AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若△ABF1的周长为4 ， 求椭圆C的标准方程；
（3）若△ABF1的面积为8 ， 求椭圆C的标准方程．

Answer 1

【答案】解：（1）Rt△AF1F2中，∵∠AF2F1=30°，
∴，
则，代入并利用b2=a2﹣c2化简整理，
得3a4﹣2a2c2﹣3c4=0，即（a2﹣3c2）（3a2﹣c2）=0，
∵a＞c，
∴a=c，
∴e==．
（2）由椭圆定义知AF1+AF2=BF1+BF2=2a，
∴△ABF1的周长为4a，
∴4a=4，则a=，b=，
故椭圆C的标准方程为；
（3）由（1）知a=c，则b=c，
于是椭圆方程可化为，即2x2+3y2=6c2 ，
设直线AF2的方程为y=(x-c)，代入2x2+3y2=6c2化简整理得3x2﹣2cx﹣5c2=0，
∴x=﹣c或x=c，
则点B的横坐标为c，
∴点B到直线AF1的距离为c-(-c)=c
∴△ABF1的面积为，
解得c=3，
∴a=3,b=3
故椭圆C的标准方程为．
【解析】（1）通过求解直角三角形得到A的坐标，代入椭圆方程整理，结合隐含条件求得椭圆C的离心率e；
（2）通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案；
（3）由（1）得到a与c，b与c的关系，设直线AF2的方程为y=(x-c)，代入2x2+3y2=6c2化简整理，求得B的坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．