Question

【题目】如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤ ）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR= ，M为QR的中点，|PM|= ．

（1）求m的值及f（x）的解析式；
（2）设∠PRQ=θ，求tanθ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠PQR= ，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，﹣m），

又M为QR的中点，∴M（ ，﹣ ），又|PM|= ，

= ，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2（舍去），

∴R（0，4），Q（4，0）， =3，T=6， =6， ，

把p（1，0）代入f（x）=Asin（ x+φ），Asin（ +φ）=0，

∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ．

把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（ x﹣ ），Asin（﹣ ）=﹣4，A= ．

f（x）的解析式为f（x）= sin（ x﹣ ）．

所以m的值为4，f（x）的解析式为 f（x）= sin（ x﹣ ）．

（2）解：在△OPR中，∠ORP= ﹣θ，tan∠ORP= ，

∴tan（ ﹣θ）= ，

∴ = ，解得tanθ= ．

【解析】（1）由已知可得 = ，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），结合|φ|≤ ，即可求得φ的值，把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（ x﹣ ），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式．（2）由∠ORP= ﹣θ，tan∠ORP= ，根据tan（ ﹣θ）= 即可解得tanθ的值．