Question

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆取高4.5m，隧道全长2.5km，隧道的拱线近似半个椭圆形状．

（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1m）

Answer 1

答案：
解析：

（1）如图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得，此时．因此隧道的拱宽约为33.3m． （2）解法一：由椭圆方程，得．因此即ab³99，且l=2a，h=b，所以． 当S取最小值时，有，得，  此时，h=b»6.4故当拱高约为6.4m、拱宽约为31.1m时，土方工程量最小． 解法二：由椭圆方程，得．于是， ， 由ab³99，当S取最小值时，有，得，．以下同解法一．