Question

14．某企业在2015年年底共有职工2000人，本年企业利润为3000万，从2016年起计划每年利润增加100万，职工每年净增a人，设从2016年起的第x年（2016年为第一年）该企业人均利润为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）今后为使企业人均利润每年都是增长，那么该企业每年人口的净增不能超过多少人？

Answer 1

分析 （1）依题意得第x年该企业的总利润为（3000+100x）万元，而该企业第x年的人口总数为（2000+ax）人，进而得到答案；
（2）为使该企业的人均利润年年都有增长，则在x＞0时，y=f（x）为增函数．进而可得200000-3000a＞0，结合实际意义可得答案．

解答 解：（1）依题意得第x年该企业的总利润为（3000+100x）万元，
而该企业第x年的人口总数为（2000+ax）人，
∴y=$\frac{3000+100x}{2000+ax}$…（5分）
（2）为使该企业的人均利润年年都有增长，
则在x＞0时，y=f（x）为增函数．
设1≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3000+100{x}_{1}}{2000+a{x}_{1}}$-$\frac{3000+100{x}_{2}}{2000+a{x}_{2}}$=$\frac{（200000-3000a）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（2000+a{x}_{1}）（2000+a{x}_{2}）}$＜0，…（9分）
∴200000-3000a＞0．
∴a＜$\frac{200000}{3000}$≈66.7
∴a_max=66．
∴该企业每年人口的净增不能超过66人．

点评 本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．