Question

如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的倍，故先求出AB的长即可；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．
解答：解：（Ⅰ）在图1中，因，故BE∥BC．又因B=90°，从而AD⊥DE．

在图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．

下求DB之长．在图1中，由，得
又已知DE=3，从而因
（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，，
因此从而在Rt△DFE中，DE=3，
在
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
点评：本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．