Question

已知函数f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-1代入曲线方程，求出x=1的点的坐标，把原函数求导后求出f^′（1），直接由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）由在区间[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，取x=-2时求出a的初步范围，然后把函数f（x）求导，经分析导函数大于0恒成立，得到函数f（x）在[-2，-1]上为增函数，由其在[-2，-1]上的最小值f（-2）大于等于

2

e2

解出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，则k=f^′（1）=-3e．
∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，得：a≥

1

5

．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a≥

1

5

，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增，
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，处理（Ⅱ）时运用了特值化思想，是该题的难点所在，此题属中档题．