Question

如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,

F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:

(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.

Answer 1

【解析】(1)线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK,

证明如下:

设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH,

又因为AK=AB,F为AE的中点,

所以KF∥EH,所以KF∥BC,

因为KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,所以BC∥平面DFK.

(2)因为F为AE的中点,DA=DE=1,所以DF⊥AE.

因为平面ADE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE,

因为BE⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.

又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中:AE=BE=,

从而AE²+BE²=4=AB²,所以AE⊥BE,

因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE,

因为BE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.