Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，2]
C．
D．（1，3]

Answer 1

【答案】分析：由定义知：|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，==，当且仅当，即|PF₂|=2a时取得等号．再利用三线段长的关系，可求得双曲线的离心率的取值范围．
解答：解：∵双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴==，
当且仅当，即|PF₂|=2a时取得等号
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a
∵|PF₁|-|PF₂|=2a＜2c，|PF₁|+|PF₂|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故选D．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用．