Question

已知抛物线y²=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．

Answer 1

设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则
x=

X+ 1 2 ×3

1+ 1 2

=

2X+3

3

，y=

Y+ 1 2 ×1

1+ 1 2

=

2Y+1

3

∴X=

3

2

(x-1)，(1)Y=

1

2

(3y-1)，(2)
∵点B在抛物线上，∴Y²=X+1，
将（1），（2）代入此方程，得
[

1

2

(3y-1)]2=

3

2

(x-1)+1
化简得3y²-2y-2x+1=0，
即x=

3

2

y2-y+

1

2

，
因此轨迹为抛物线