Question

已知以点C (t, )（t∈R），t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y= –2x+4与圆C交于点M，N若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

（3）若t＞0，当圆C的半径最小时，圆C上至少有三个不同的点到直线l：y –的距离为，求直线l的斜率k的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵圆C过原点O,∴OC²=t²+ 则圆C的方程为

令x=0,得y₁=0,y₂=；令y=0得x₁=0,x₂=2t,即A(2t,0)  B(0, )

∴S_△OAB=OA×OB=||×|2t|=4．……4分

即△OAB的面积为定值

（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分线段MN．

∵K_MN = – 2      ∴K_OC=

∴ 解得t=2或t = –2．

当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）半径OC=，此时圆心到直线y= –2x+4的距离d=，即圆C与直线y= –2x+4相交于两点。  

当t=-2时,圆心C的坐标为（–2，–1）半径OC=

此时圆心到直线y= –2x+4的距离d=>, 即圆C与直线y= –2x+4不相交，

∴t= –2不合题意，舍去．∴圆C的方程为(x –2)²+(y –1)²=5．……9分

(3)半径OC=．当且仅当t=时取等号 ∵t>0 ∴t=．

此时圆心坐标为C（）半径为2．

若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y – =k(x –3 –)的距离为．

则圆心C到直线的距离d≤．即：  所以– ．

【解析】略