Question

如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.

（1）求证：E、F、G、H四点共面；

（2）求证：BD//平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对于空间任意一点O有

.

Answer 1

思路分析：（1）要证明E、F、G、H四点共面，只要能够找到X，Y实数，使即可；（2）要证明BD//平面EFGH，可以只需证明∥即可；（3）充分利用（2）所得结论找到M为EG、FH的中点即可.

证明:（1）如图连接BG，则

=.

故E、F、G、H四点共面.

（2）如图根据题意有

.

所以得证∥,即BD∥EH

又EH平面EFGH，BD平面EFGH，则BD∥平面EFGH.

（3）图略

由（2），有.

同理.

∴.∴EHFG.

所以EG、FH交于一点且被M平分.则有

=.