Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的离心率e=2，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂） 满足（　　）

A．必在圆x²+y²=2内

B．必在圆x²+y²=2外

C．必在圆x²+y²=2上

D．以上三种情形都有可能

Answer 1

分析：由根与系数的关系结合两点间的距离公式，算出|OP|=

x12+x22

=

(- b a )2+ 2c a

．由双曲线的离心率为2，算出c=2a且b=

3

a，可得|OP|=

7

，因此点P必在圆x²+y²=2外，可得答案．

解答：解：∵方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-

c

a

，
可得|OP|=

x12+x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

=

(- b a )2+ 2c a

又∵双曲线的离心率为e=

c

a

=2，可得c=2a，
∴c²=4a²=a²+b²，即3a²=b²，结合a＞0且b＞0，得b=

3

a．
∵圆的方程为x²+y²=2，∴圆心坐标为O（0，0），半径r=

2

，
因此，|OP|=

(- b a )2+ 2c a

=

7

＞

2

，所以点P必在圆x²+y²=2外．
故选：B

点评：本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．