Question

△ABC中，A（2，3），B（4，6），C（3，-1），点D满足．
（1）求点D的轨迹；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出点D的坐标，代入已知等式化简，由轨迹方程判断轨迹．
（2）因为A、B在直线的同一侧，先求出A关于直线的对称点A′的坐标，所求的最小值就是|A′B|的值．
解答：（1）解：设点D（x，y），∵点D满足，
∴（-1，4）•（x-3，y+1）=（x-3，y+1）•（1，7），
∴3-x+4y+4=x-3+7y+7，即 2x+3y-3=0．∴点D的轨迹是一条直线．
（2）解：设A（2，3）关于点D的轨迹（直线）的对称点A′（a，b），则有：
=，即  3a-2b=0   ①，又AA′的中点（，）在直线2x+3y-3=0上，
∴2•+3•-3=0，即 2a+3b+7=0  ②，由①②可解得点A′（-，-），
∴=|DA′|+|DB|≥|A′B|==，
∴的最小值为．
点评：本题考查轨迹方程求法、及求点关于直线的对称点的求法，利用了的最小值为|A′B|．