Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）设函数g（x）=，若不等式g（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=0；（2）

【解析】

（Ⅰ）时，在区间上单调递增，可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，原题可化为，分离参数，令，求出的最大值即可．

解：（Ⅰ）f（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+1+b﹣a．

∵a＞0，∴f（x）在区间[2，3]上单调递增，

∴，解得a=1，b=0；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2x+1，

∴g（x）==，

不等式g（2x）﹣k2x≤0可化为，

即k．

令t=，

∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，

令h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2，t∈[，2]，

∴当t=2时，函数取得最大值h（2）=1．

∴k≥1．

∴实数k的取值范围为[1，+∞）．