Question

【题目】已知函数．

(1)若函数为上的奇函数，求实数a的值；

(2)当时，函数在为减函数，求实数a的取值范围；

(3)是否存在实数()，使得 在闭区间上的最大值为2，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）利用函数是奇函数定义，列出关系式，即可求出a的值；

（2）推出二次函数的性质，列出不等式求解即可；

（3）化简函数为分段函数，通过讨论a的范围，列出关系式求解即可．

解：（1）因为奇函数f（x）定义域为R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0对任意x∈R恒成立，

所以a=0．

因为，所以，

显然二次函数的对称轴为，由于函数在上单调递减，

所以，即。

∵a＜0，，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值约束范围）

∴，f（x）在（0，+∞）上递增，

∴f（x）必在区间[﹣1，0]上取最大值2．

当，即a＜﹣2时，则f（﹣1）=2，a=﹣3，成立

当，即0＞a≥﹣2时，，则（舍）

综上，a=﹣3．