Question

选修4-4：坐标系与参数方程过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：

x=cosθ y= 2 2 sinθ

（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得曲线E的普通方程为 x²+2y²=1，由直线参数方程的特征可得L的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数）．
（Ⅱ）将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin²α）t²+（4cosα）t+3=0，由△≥0，得sin2α≤

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，可得sinα的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）消去参数θ，可得曲线E的普通方程为 x²+2y²=1，
由条件可得L的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数）．
（Ⅱ） 将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin²α）t²+（4cosα）t+3=0，
由△=（4cosα）²-4（1+sin²α）×3≥0，得sin2α≤

1

7

．
又 由于倾斜角α满足：0≤α＜π，∴0≤sinα≤

7

7

．

点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，直线的参数方程，是一道基础题．