Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为20π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求异面直线A₁B与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求点A到平面A₁PB的距离．

Answer 1

【答案】分析：本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决求线面角证线线垂直，求点到面 距离．
（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO₁为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．
（2）用向量法求点到面的距离，先求出平面A₁PB的法向量，再求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可．
解答：（1）解：以O为原点，分别以OB，OO₁为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，
建立空间直角坐标系．
由题意S_表=2π•2²+2π•2•AA₁=20π，解得AA₁=3．（2分）
易得相关点的坐标分别为：A（0，-2，0），，A₁（0，-2，3），B（0，2，0）．
得，，（4分）
设与的夹角为θ，异面直线A₁B与AP所成的角为α，
则，得，（6分）
即异面直线A₁B与AP所成角的大小为arccos．（7分）
（2）设平面A₁PB的法向量为，则∵
∴，（10分）
取v=3，得平面A₁PB的一个法向量为，且，
所以点A到平面A₁PB的距离．（14分）
点评：本考点是点、线、面间的距离计算、异面直线及其所成的角，本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决，故采用了向量法求点到面的距离，在做题时应根据题目的条件灵活选用解题的方法．