Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB、A₁B₁分别为圆O、O₁的直径且A₁A⊥平面PAB．
（Ⅰ）求证：平面A₁PB⊥平面A₁AP；
（Ⅱ）在三棱锥A₁-APB的6条棱中，任取2条棱，求恰好能互相垂直的概率．

Answer 1

分析：（I）利用直径所对的圆周角等于90°，可证AP⊥BP，再证线面垂直，然后由线面垂直证明面面垂直；
（II）由（I）的线面垂直，可得三棱锥的六条棱中，线线垂直的情况，利用古典概型概率公式计算．

解答：解：（I）∵A₁A⊥平面PAB．PB?平面PAB，∴AA₁⊥PB；
又∵点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB是直径，∴AP⊥PB；
AA₁∩AP=A，∴PB⊥平面A₁AP，PB?平面A₁PB，
∴平面AA₁P⊥平面A₁PB；
（II）在三棱锥A₁-APB的6条棱中，AA₁⊥AB；AA₁⊥AP；AA₁⊥BP；
由（I）知：BP⊥A₁P；BP⊥AP．共5组棱互相垂直的情况，
∴任取2条棱，求恰好能互相垂直的概率为

5

C 2 6

=

5

15

=

1

3

．

点评：本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的性质，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是由线面垂直判定线线垂直的情况数．