Question

如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=

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DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求证：平面PAF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求三棱锥A-PBC与E-BPF的体积之比．

Answer 1

分析：（I）先证明四边形AEFB为正方形，可证得BE⊥AF；再利用面面垂直的性质，证得线面垂直，再得PE⊥AF，由此可证AF⊥平面PBE，从而证明面面垂直；
（II）根据V_A-PBC=V_P-ABC，V_E-BPF=V_P-BEF，只需判断三棱锥P-ABC与P-BEF的高和底面△ABC与△BEF的面积的数量关系，可得三棱锥A-PBC与E-BPF的体积之比．

解答：解：（I）证明：∵EF∥AB，AB=EF=

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CD，
∴四边形AEFB为平行四边形，又AE=AB，AE⊥CD，
∴四边形AEFB为正方形，∴BE⊥AF，
∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，AF?平面PAF，
∴平面PBE⊥平面PAF．
（II）∵V_A-PBC=V_P-ABC，
V_E-BPF=V_P-BEF，
∵三棱锥P-ABC与P-BEF的高相等，
底面△ABC与△BEF的面积也相等，
∴三棱锥A-PBC与E-BPF的体积之比为1：1．

点评：本题考查了面面垂直的证明，考查了棱锥的体积公式，利用三棱锥的换底性求三棱锥的体积是常用方法．