题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过的直线与椭圆交于
、
两点，若
是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=
m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得
，开方得答案．
详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，
若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，
即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，
则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，
在直角三角形AF1F2中，
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，
∴c2=（9﹣6）a2，
则e2==9﹣6=
，
∴e=
．
故答案为：．
【题目】某冰糖橙，甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称。该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱有5kg）,某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
箱数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
（1）若将频率改为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率：
（2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为27元/kg;
方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
售价（元/kg） | 36 | 30 | 24 | 18 |
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的是珍品等级，求x的分布列及数学期望E（X）.
